期权作为金融市场中重要的衍生品，其定价理论一直是金融学研究的核心。在期权定价模型中，平价关系（Put-Call Parity）是连接看涨期权（Call Option）和看跌期权（Put Option）价值的基本关系。对于欧式期权而言，由于其只能在到期日行权，平价关系表现为严格的等式。美式期权因其可以在到期日或到期日之前的任何时间行权，这种灵活性使得其平价关系不再是简单的等式，而是表现为一系列不等式。理解美式期权平价关系不仅有助于深入理解期权定价机制，更是识别市场中潜在套利机会的关键。将深入探讨美式期权平价关系的核心理论、其不等式的证明以及股息等因素对其影响。

欧式期权平价关系回顾与美式期权特性

在深入探讨美式期权平价关系之前，有必要回顾一下欧式期权的平价关系。对于具有相同标的资产、行权价格（K）和到期日（T）的欧式看涨期权（C_E）和欧式看跌期权（P_E），以及无股息支付的标的股票（S_0），其平价关系可以表示为：

$$C_E + K e^{-rT} = P_E + S_0$$

其中，$e^{-rT}$ 是以无风险利率（r）对行权价格K进行折现的因子。这个等式是基于无套利原则推导出来的，它表明由一个欧式看涨期权和一笔到期支付K的无风险债券组成的投资组合，其价值应等于一个欧式看跌期权和一股标的股票组成的投资组合的价值。如果市场价格偏离这个等式，套利者将能够通过买低卖高来获取无风险利润。

美式期权的核心特性在于其“提前行权”的权利。这意味着美式期权持有人可以在到期日之前的任何时间选择行使期权。这种额外的灵活性对期权价值产生了显著影响：美式期权通常比同等条件的欧式期权更有价值（或至少不低于欧式期权）。具体来说，美式看涨期权（C_A）和美式看跌期权（P_A）的价值分别满足 $C_A \ge C_E$ 和 $P_A \ge P_E$。正是这种提前行权的可能，使得美式期权的平价关系无法保持严格的等式，而演变为一系列不等式。

美式期权平价关系的核心不等式

对于不支付股息的标的股票，美式期权的平价关系通常表示为以下两个核心不等式：

$$S_0 - K \le C_A - P_A \le S_0 - K e^{-rT}$$

其中，$S_0$ 是当前标的股票价格，$K$ 是行权价格，$C_A$ 是美式看涨期权价格，$P_A$ 是美式看跌期权价格，$r$ 是无风险利率，$T$ 是到期时间。这两个不等式构成了美式期权看涨期权和看跌期权之间价值差异的上下限。

理解这些不等式的关键在于美式期权的提前行权特性。对于不支付股息的股票，美式看涨期权永远不会被提前行权，因为持有期权可以享受时间价值，而提前行权只会获得内在价值，并放弃了剩余的时间价值以及未来股价上涨的潜力。对于不支付股息的股票，$C_A = C_E$。美式看跌期权则可能被提前行权，特别是当股票价格非常低时，为了锁定利润或避免进一步损失，持有人可能会选择提前行权。$P_A \ge P_E$。正是这种不对称性导致了平价关系变为不等式。

不等式下界的证明：无套利原则

我们首先来证明美式期权平价关系的下界：$S_0 - K \le C_A - P_A$。

这个不等式可以通过构造套利组合来证明。假设市场中存在套利机会，即 $C_A - P_A < S_0 - K$。在这种情况下，我们可以构建一个套利组合来获取无风险利润：

1. 买入美式看涨期权（C_A）并卖出美式看跌期权（P_A）：这部分投资组合的成本是 $C_A - P_A$。
2. 卖空一股标的股票（S_0）并借入 K 元现金：卖空股票获得 $S_0$，借入 K 元现金（假设可以立即借到并以无风险利率计息）。

根据我们的假设 $C_A - P_A < S_0 - K$，这意味着 $(S_0 - K) - (C_A - P_A) > 0$。通过执行上述操作，我们可以在期初获得一笔正的现金流，即：

期初收益 = $(S_0 - K) - (C_A - P_A) > 0$

现在，我们考虑在到期日T（或在此之前的任何时间，如果期权被提前行权）的损益情况：

• 情况一：如果股票价格 $S_T > K$
  • 美式看涨期权将被行权，我们获得 $S_T - K$。
  • 美式看跌期权将过期。
  • 我们之前卖空了一股股票，现在需要以 $S_T$ 的价格买回股票来平仓，损失 $S_T$。
  • 我们之前借入了 K 元现金，现在需要偿还 K 元（不考虑利息，因为我们假设是即时平仓）。
  • 总损益 = $(S_T - K) - S_T + K = 0$。
• 情况二：如果股票价格 $S_T \le K$
  • 美式看涨期权将过期。
  • 美式看跌期权将被行权，我们需要支付 $K - S_T$。
  • 我们之前卖空了一股股票，现在需要以 $S_T$ 的价格买回股票来平仓，损失 $S_T$。
  • 我们之前借入了 K 元现金，现在需要偿还 K 元。
  • 总损益 = $-(K - S_T) - S_T + K = 0$。

在上述两种情况下，到期日的净损益都为零。这意味着我们可以在期初获得一笔正的无风险收益，而在期末没有任何风险或额外成本。这显然违反了无套利原则。初始假设 $C_A - P_A < S_0 - K$ 不成立，所以必须有 $S_0 - K \le C_A - P_A$。这个下界可以理解为，持有美式看涨期权并卖出美式看跌期权的组合，其价值至少应该等于立即行权所能获得的内在价值 $S_0 - K$。

不等式上界的证明：无套利与欧式期权关系

我们证明美式期权平价关系的上界：$C_A - P_A \le S_0 - K e^{-rT}$。

这个上界的证明主要依赖于两个关键事实：

1. 对于不支付股息的股票，美式看涨期权永远不会被提前行权。 这是因为提前行权意味着放弃了期权的时间价值，而持有期权可以继续享受股价上涨的潜力。对于不支付股息的股票，美式看涨期权的价值等于同等条件的欧式看涨期权的价值，即 $C_A = C_E$。
2. 美式看跌期权的价值总是大于或等于同等条件的欧式看跌期权的价值。 这是因为美式看跌期权具有提前行权的灵活性，而欧式看跌期权没有。$P_A \ge P_E$。

结合欧式期权的平价关系 $C_E - P_E = S_0 - K e^{-rT}$，我们可以进行如下推导：

我们知道 $C_A = C_E$ 和 $P_A \ge P_E$。

将 $P_A$ 替换为 $P_E$（或更小的值），会导致 $C_A - P_A$ 的值变小或不变。即：

$$C_A - P_A \le C_A - P_E$$

由于 $C_A = C_E$，我们可以进一步写成：

$$C_A - P_A \le C_E - P_E$$

根据欧式期权的平价关系，我们知道 $C_E - P_E = S_0 - K e^{-rT}$。

最终得到：

$$C_A - P_A \le S_0 - K e^{-rT}$$

这个上界表明，美式看涨期权和美式看跌期权之间的价值差异，不会超过同等条件下欧式期权所满足的平价关系。这主要是因为美式看跌期权的额外价值（由于提前行权的可能性）拉大了 $C_A - P_A$ 与 $S_0 - K e^{-rT}$ 之间的差距。

股息对美式期权平价关系的影响

当标的股票支付股息时，美式期权的平价关系会变得更加复杂。股息的存在会改变期权持有人的最优行权策略，从而影响期权的价值。

对于美式看涨期权，如果股票在到期前支付股息，提前行权可能会变得有利。这是因为行权后，期权持有人可以立即获得股票并收取股息，避免因持有期权而错失股息。对于支付股息的股票，$C_A$ 可能不再等于 $C_E$，而是 $C_A \ge C_E$，并且 $C_A$ 的价值会受到股息现值的影响。具体来说，当股息足够大时，提前行权美式看涨期权以捕获股息可能成为最优选择。

对于美式看跌期权，股息的支付通常会降低股票价格（在除息日），这使得看跌期权的价值增加。股息的存在会进一步增强提前行权美式看跌期权的动机，因为股价下跌意味着看跌期权内在价值的增加。所以，$P_A$ 仍然会大于或等于 $P_E$。

考虑到股息（假设股息在到期前支付，且其现值为D），美式期权平价关系的不等式通常会调整为：

$$S_0 - K \le C_A - P_A \le S_0 - D - K e^{-rT}$$

这里的 $D$ 代表从现在到期权到期日之间所有预期股息的现值。这个调整后的上界反映了股息对股票价值的稀释作用，以及其对看涨期权提前行权决策的影响。由于股息的存在，美式看涨期权的提前行权变得可能，从而使得 $C_A$ 相对于 $C_E$ 的优势可能体现出来，进而影响 $C_A - P_A$ 的上界。在分析美式期权平价关系时，必须充分考虑股息支付对期权价值和最优行权策略的复杂影响。

美式期权平价关系是期权定价理论中的一个重要概念，它揭示了美式看涨期权和看跌期权之间价值差异的上下限。与欧式期权的严格等式不同，美式期权由于其提前行权的灵活性，导致其平价关系表现为不等式：$S_0 - K \le C_A - P_A \le S_0 - K e^{-rT}$（在无股息情况下）。下界 $S_0 - K$ 反映了立即行权所能获得的最小价值，而上界 $S_0 - K e^{-rT}$ 则利用了无股息股票下美式看涨期权不提前行权的特性以及美式看跌期权高于欧式看跌期权的价值。当存在股息时，平价关系会变得更为复杂，因为股息会影响看涨期权的提前行权决策，进而调整不等式的上界。

理解美式期权平价关系对于期权交易者和风险管理者至关重要。它不仅提供了一个理论框架来评估期权价值的合理性，更是识别市场中潜在套利机会的强大工具。任何市场价格偏离这些不等式的情况，都可能预示着无风险套利机会的存在。深入掌握美式期权平价关系，是理解和有效利用期权市场的基石。